Vector Space

A vector space \((V,+,\cdot)\) over Körper \((\K,+,\cdot),\ \vec v \in \K^n\)

Linear Unabhängig: Vektoren heißen linear unabhängig, wenn aus:

\(\alpha_1 \vec v_1 + \alpha_2 \vec v_2 + \ldots + \alpha_n \vec v_n = \vec 0\) folgt, dass alle \(\alpha_i = 0\)

Basis \(\ma B=\{\vec b_1, \vec b_2, ...\}\): \(n\) Vektoren, linear unabhängig, erzeugen \(V\)

Betrag (Norm): \(\norm{\vec a} = \sqrt{\vec a \cdot \vec a} = \sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}\)

Skalarprodukt: \(\vec v \cdot \vec w = \vec v^\top\!\! \cdot \vec w = \sum v_i w_i = \norm{\vec a}\norm{\vec b} \cos(\measuredangle \vec a,\vec b)\)

\(\left\langle{\vec v}{\vec w}\right\rangle_{\ma A} = \vec v^\top \ma A \vec w\) \qquad (quadr., symm., pos. definite Matrix \(\ma A\))